‒ Sử dụng tính chất: Ba điểm \(A, B, C\) thẳng hàng nếu hai vectơ \(\overrightarrow {AB} , \overrightarrow {AC} \) cùng phương. Giải và trình bày phương pháp giải Giải bài 26 trang 75 sách bài tập toán 12 – Cánh diều – Bài 3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto. Trong không gian với hệ toạ độ (Oxyz), cho (Mleft( {2;2; – 2} right),Nleft( { – 3;5;1} right),Pleft( {1;…
Đề bài/câu hỏi:
Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho \(M\left( {2;2; – 2} \right),N\left( { – 3;5;1} \right),P\left( {1; – 1; – 2} \right)\).
a) Chứng minh rằng ba điểm \(M,N,P\) không thẳng hàng.
b) Tính chu vi tam giác \(MNP\).
c) Tính \(\cos \widehat {NMP}\).
Hướng dẫn:
‒ Sử dụng tính chất: Ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng nếu hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) cùng phương.
‒ Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng \(AB\):
\(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} – {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} – {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} – {z_A}} \right)}^2}} \).
‒ Sử dụng công thức tính góc của hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\):
\(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{{x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2} + {z_1}.{z_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} }}\).
Lời giải:
a) Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( { – 5;3;3} \right),\overrightarrow {MP} = \left( { – 1; – 3;0} \right),k\overrightarrow {MP} = \left( { – k; – 3k;0} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {MN} \ne k\overrightarrow {MP} ,\forall k \in \mathbb{R}\).
Vậy ba điểm \(M,N,P\) không thẳng hàng.
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}MN = \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{\left( { – 5} \right)}^2} + {3^2} + {3^2}} = \sqrt {43} ;\\MP = \left| {\overrightarrow {MP} } \right| = \sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2} + {0^2}} = \sqrt {10} ;\\NP = \left| {\overrightarrow {NP} } \right| = \sqrt {{{\left( {1 – \left( { – 3} \right)} \right)}^2} + {{\left( { – 1 – 5} \right)}^2} + {{\left( { – 2 – 1} \right)}^2}} = \sqrt {61} .\end{array}\)
Chu vi tam giác \(MNP\)là: \(\sqrt {43} + \sqrt {10} + \sqrt {61} \).
c) Trong tam giác \(MNP\), ta có:
\(\cos \widehat {NMP} = \cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right) = \frac{{\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MP} }}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {MP} } \right|}} = \frac{{\left( { – 5} \right).\left( { – 1} \right) + 3.\left( { – 3} \right) + 3.0}}{{\sqrt {43} .\sqrt {10} }} = – \frac{4}{{\sqrt {430} }}\).