Giải chi tiết Hoạt động 3 Bài 32. Các quy tắc tính đạo hàm (trang 89, 90) – SGK Toán 11 Kết nối tri thức. Tham khảo: \(f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}\.
Câu hỏi/Đề bài:
a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số \(y = {x^3} + {x^2}\) tại điểm x bất kì.
b) So sánh: \(\left( {{x^3} + {x^2}} \right)’\) và \(\left( {{x^3}} \right)’ + \left( {{x^2}} \right)’.\)
Hướng dẫn:
– \(f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}\) nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}\)
– \({\left( {{x^n}} \right)^,} = n{x^{n – 1}}\)
Lời giải:
a) Với \({x_0}\) bất kì, ta có:
\(\begin{array}{l}f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^3} + {x^2} – x_0^3 – x_0^2}}{{x – {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x – {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x{x_0} + x_0^2} \right) + \left( {x – {x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x – {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x{x_0} + x_0^2 + x + {x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2} + x{x_0} + x_0^2 + x + {x_0}} \right) = 3x_0^2 + 2{x_0}\end{array}\)
Vậy hàm số \(y = {x^3} + {x^2}\) có đạo hàm là hàm số \(y’ = 3{x^2} + 2x\)
b) \({\left( {{x^3}} \right)^,} + {\left( {{x^2}} \right)^,} = 3{x^2} + 2x\)
Do đó \(\left( {{x^3} + {x^2}} \right)’\) = \(\left( {{x^3}} \right)’ + \left( {{x^2}} \right)’.\)