Hoạt động 1 Bài 2 (trang 17, 18) Toán 11: Cho a = π /3 và b = π /6, hãy chứng tỏ cos a – b = cos acos b + sin asin b

Câu hỏi/Đề bài:

a) Cho \(a = \frac{\pi }{3}\) và \(b = \frac{\pi }{6}\), hãy chứng tỏ \(\cos \left( {a – b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\).

b) Bằng cách viết \(a + b = a – \left( { – b} \right)\) và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính \(\cos \left( {a + b} \right).\)

c) Bằng cách viết \(\sin \left( {a – b} \right) = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} – \left( {a – b} \right)} \right] = \cos \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} – a} \right) + b} \right]\;\)và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính \(\sin \left( {a – b} \right)\).

Hướng dẫn:

Tính giá trị các góc lượng giác đặc biệt

Sử dụng công thức hai góc phụ nhau.

Lời giải:

a) Ta có: VT = \(\cos \left( {\frac{\pi }{3} – \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{\pi }{{6}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\(VP = \cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{6} + \sin \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{6} = \frac{{1 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} = VT\)

Vậy \(\cos \left( {a – b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\)

b) Ta có: \(\cos \left( {a + b} \right) = \cos (a–b) = \cos a\cos \left( { – b} \right) + \sin a\sin \left( { – b} \right) = \cos a\cos b – \sin a\sin b\)

c) Ta có: \(\sin \left( {a – b} \right) = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} – \left( {a – b} \right)} \right] = \cos \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} – a} \right) + b} \right] = \cos \left( {\frac{\pi }{2} – a} \right)\cos b + \sin \left( {\frac{\pi }{2} – a} \right)\sin b\)

\( = \left( {\cos \frac{\pi }{2}\cos a + \sin \frac{\pi }{2}\sin a} \right)\cos b + \sin \left( {\frac{\pi }{2} – a} \right)\sin b = \sin a\cos b + \cos a\sin b\)