Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản, các hằng đẳng thức đáng nhớ và sử dụng giá trị lượng giác để biến đổi. Giải và trình bày phương pháp giải Bài 1.5 trang 16 SGK Toán 11 tập 1 – Kết nối tri thức – Bài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác. Chứng minh các đẳng thức:…
Đề bài/câu hỏi:
Chứng minh các đẳng thức:
a) \({\cos ^4}\alpha – {\sin ^4}\alpha = 2{\cos ^2}\alpha – 1\);
b) \(\frac{{{{\cos }^2}\alpha + {{\tan }^2}\alpha – 1}}{{{{\sin }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha \).
Hướng dẫn:
Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản, các hằng đẳng thức đáng nhớ và sử dụng giá trị lượng giác để biến đổi.
Khi chứng minh một đẳng thức ta có thể biến đổi vế này thành vế kia, biến đổi tương đương.
Lời giải:
a)
Ta có:
\({\cos ^4}\alpha {\sin ^4}\alpha = \left( {{{\cos }^2}\alpha – {{\sin }^2}\alpha } \right)\left( {{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha } \right) \\= {\cos ^2}\alpha – {\sin ^2}\alpha = {\cos ^2}\alpha – (1 – {\cos ^2}\alpha ) \\= {\cos ^2}\alpha – 1 + {\cos ^2}\alpha = 2{\cos ^2}\alpha – 1\)
(đpcm)
b)
Ta có:
\(\frac{{{{\cos }^2}\alpha + {{\tan }^2}\alpha – 1}}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\cos }^2}\alpha \; + {{\tan }^2}\alpha – {{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} \\= \frac{{{{\tan }^2}\alpha – {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} – {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} \\= \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} – 1 = {\tan ^2}\alpha \)
(đpcm)