Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \({x_0}\. Gợi ý giải Bài 9.3 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức – Bài 31. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol (y = – {x^2} + 4x,) biết:…
Đề bài/câu hỏi:
Viết phương trình tiếp tuyến của parabol \(y = – {x^2} + 4x,\) biết:
a) Tiếp điểm có hoành độ \({x_0} = 1;\)
b) Tiếp điểm có tung độ \({y_0} = 0.\)
Hướng dẫn:
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \({x_0}\) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(P\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là \(y – {y_0} = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right),\) trong đó \({y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\)
Lời giải:
Với \({x_0}\) bất kì, ta có:
\(f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ – {x^2} + 4x + x_0^2 – 4{x_0}}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ – \left( {{x^2} – x_0^2} \right) + 4\left( {x – {x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x – {x_0}} \right)\left( { – x – {x_0} + 4} \right)}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( { – x – {x_0} + 4} \right) = – 2{x_0} + 4\)
Vậy hàm số \(y = – {x^2} + 4x\) có đạo hàm là hàm số \(y’ = – 2x + 4\)
a) Ta có \(y’\left( 1 \right) = – 2.1 + 4 = 2\)
Ngoài ra , \(f\left( 1 \right) = 3\) nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
\(y – 3 = 2\left( {x – 1} \right)\) hay \(y = 2x + 1\)
b) Ta có \({y_0} = 0\) nên \( – x_0^2 + 4{x_0} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 4\end{array} \right.\)
+) \({x_0} = 0,{y_0} = 0\) nên \(y’\left( 0 \right) = 4\) do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y = 4x\)
+) \({x_0} = 4,{y_0} = 0\) nên \(y’\left( 4 \right) = – 4\) do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là
\(y = – 4\left( {x – 4} \right)\) hay \(y = – 4x + 16\)