Bài 9.2 trang 86 Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức: Sử dụng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) y = kx^2 + c (với k, c là các hằng số) ; b) y = x^3.

Đề bài/câu hỏi:

Sử dụng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = k{x^2} + c\) (với k, c là các hằng số);

b) \(y = {x^3}.\)

Hướng dẫn:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm \(f’\left( x \right)\) tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu là \(y’ = f’\left( x \right)\)

Lời giải:

a) Với \({x_0}\) bất kì, ta có:

\(f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{k{x^2} + c – \left( {kx_0^2 + c} \right)}}{{x – {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{k\left( {{x^2} – x_0^2} \right)}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{k\left( {x – {x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {k\left( {x + {x_0}} \right)} \right] = 2k{x_0}\)

Vậy hàm số \(y = k{x^2} + c\) có đạo hàm là hàm số \(y’ = 2kx\)

b) Với \({x_0}\) bất kì, ta có:

\(f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^3} – x_0^3}}{{x – {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x – {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x{x_0} + x_0^2} \right)}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2} + x{x_0} + x_0^2} \right) = 3x_0^2\)

Vậy hàm số \(y = {x^3}\) có đạo hàm là hàm số \(y’ = 3{x^2}\)