\(f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}\. Giải chi tiết Bài 9.1 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức – Bài 31. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm. Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của các hàm số sau:…
Đề bài/câu hỏi:
Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = {x^2} – x\) tại \({x_0} = 1;\)
b) \(y = – {x^3}\) tại \({x_0} = – 1.\)
Hướng dẫn:
\(f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}\) nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}\)
Lời giải:
a) \(f’\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) – f\left( 1 \right)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} – x}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x\left( {x – 1} \right)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} x = 1\)
Vậy \(f’\left( 1 \right) = 1\)
b) \(f’\left( { – 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \frac{{f\left( x \right) – f\left( { – 1} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \frac{{ – {x^3} – 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \frac{{ – \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – x + 1} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \left( {{x^2} – x + 1} \right) = 3\)
Vậy \(f’\left( { – 1} \right) =- 3\)