Sử dụng công thức \(\left( {{x^n}} \right)’ = n{x^{n – 1}};\left( {\sin u} \right)’ = u’. \cos u\. Hướng dẫn giải Bài 9.10 trang 94 SGK Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức – Bài 32. Các quy tắc tính đạo hàm. Cho hàm số (fleft( x right) = 2{sin ^2}left( {3x – frac{pi }{4}} right)….
Đề bài/câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{\sin ^2}\left( {3x – \frac{\pi }{4}} \right).\) Chứng minh rằng \(\left| {f’\left( x \right)} \right| \le 6\) với mọi x.
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức \(\left( {{x^n}} \right)’ = n{x^{n – 1}};\left( {\sin u} \right)’ = u’.\cos u\)
Lời giải:
Ta có
\(\begin{array}{l}f’\left( x \right) = 4\sin \left( {3x – \frac{\pi }{4}} \right).\left[ {\sin \left( {3x – \frac{\pi }{4}} \right)} \right]’ = 4\left( {3x – \frac{\pi }{4}} \right)’\cos \left( {3x – \frac{\pi }{4}} \right)\sin \left( {3x – \frac{\pi }{4}} \right)\\ = 12\cos \left( {3x – \frac{\pi }{4}} \right)\sin \left( {3x – \frac{\pi }{4}} \right) = 6\sin \left( {6x – \frac{\pi }{2}} \right)\end{array}\)
Vì \( – 1 \le \sin \left( {6x – \frac{\pi }{2}} \right) \le 1 \Leftrightarrow – 6 \le 6\sin \left( {6x – \frac{\pi }{2}} \right) \le 6 \Leftrightarrow – 6 \le f’\left( x \right) \le 6\)
Vậy \(\left| {f’\left( x \right)} \right| \le 6\) với mọi x.