Để chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng, hãy chứng minh hiệu hai số hạng liên tiếp \({u_n} – {u_{n – 1}}\. Vận dụng kiến thức giải Bài 2.9 trang 51 SGK Toán 11 tập 1 – Kết nối tri thức – Bài 6. Cấp số cộng. Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số (left( {{u_n}} right)) sau và xét xem nó có phải là…
Đề bài/câu hỏi:
Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau và xét xem nó có phải là cấp số cộng không. Nếu dãy số đó là cấp số cộng, hãy tìm công sai d và viết số hạng tổng quát của nó dưới dạng \({u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d\)
a) \({u_n} = 3 + 5n;\)
b) \({u_n} = 6n – 4\);
c) \({u_1} = 2,\;{u_n} = {u_{n – 1}} + n\);
d) \({u_1} = 2,\;{u_n} = {u_{n – 1}} + 3\).
Hướng dẫn:
Để chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng, hãy chứng minh hiệu hai số hạng liên tiếp \({u_n} – {u_{n – 1}}\) không đổi.
Từ đó, xác định được công sai d và số hạng tổng quát.
Lời giải:
a) \({u_1} = 8;\;\;\;\;{u_2} = 13;\;\;\;\;\;{u_3} = 18;\;\;\;\;\;{u_4} = 23;\;\;\;\;\;{u_5} = 28\).
Ta có: \({u_n} – {u_{n – 1}} = 3 + 5n – \left[ {3 + 5\left( {n – 1} \right)} \right] = 5,\;\forall n \ge 2\).
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với \({u_1} = 8\) và công sai \(d = 5\).
Số hạng tổng quát: \({u_n} = 8 + 5\left( {n – 1} \right)\).
b) \({u_1} = 2;\;\;\;\;{u_2} = 8;\;\;\;\;{u_3} = 14;\;\;\;\;\;{u_4} = 20;\;\;\;\;\;{u_5} = 26\).
Ta có: \({u_n} – {u_{n – 1}} = 6n – 4 – \left[ {6\left( {n – 1} \right) – 4} \right] = 6,\;\forall n \ge 2\).
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với \({u_1} = 2\) và công sai \(d = 6\).
Số hạng tổng quát: \({u_n} = 2 + 6\left( {n – 1} \right)\).
c) \({u_1} = 2;\;\;\;\;{u_2} = 4;\;\;\;\;\;{u_3} = 7;\;\;\;\;\;\;{u_4} = 11;\;\;\;\;\;\;\;{u_5} = 16\)
Ta có: \({u_n} – {u_{n – 1}} = n,\;\) n biến động.
Suy ra đây không phải là cấp số cộng.
d) \({u_1} = 2;\;\;\;\;{u_2} = 5;\;\;\;\;\;\;{u_3} = 8;\;\;\;\;\;\;{u_4} = 11;\;\;\;\;\;\;\;{u_5} = 14\)
Ta có: \({u_n} – {u_{n – 1}} = 3\).
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với \({u_1} = 2\) và công sai \(d = 3\).
Số hạng tổng quát: \({u_n} = 2 + 3\left( {n – 1} \right),\;\forall n \ge 2\).