Để chứng minh dãy số (\({u_n})\) gồm các số khác 0 là một cấp số nhân, hãy chứng minh tỉ số \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n – 1}}}}\. Giải và trình bày phương pháp giải Bài 2.25 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 – Kết nối tri thức – Bài tập cuối chương 2. Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, dãy số nào là cấp số nhân? A….
Đề bài/câu hỏi:
Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, dãy số nào là cấp số nhân?
A. \({u_1} = – 1,\;{u_{n + 1}} = u_n^2\) B. \({u_1} = – 1,\;{u_{n + 1}} = 2{u_n}\)
C. \({u_1} = – 1,\;{u_{n + 1}} = {u_n} + 2\) D. \({u_1} = – 1,\;{u_{n + 1}} = {u_n} – 2\)
Hướng dẫn:
Để chứng minh dãy số (\({u_n})\) gồm các số khác 0 là một cấp số nhân, hãy chứng minh tỉ số \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n – 1}}}}\) không đổi.
Lời giải:
A. Ta có: \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n – 1}}}} = \frac{{u_n^2}}{{{u_n}}} = {u_n}\) phụ thuộc vào n nên (\({u_n})\) thay đổi, do đó\(\left( {{u_n}} \right)\) không phải cấp số nhân.
B. Ta có: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{{u_n}}}}= 2\), do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân với công bội \(q = 2\).
C. Ta có: \({u_{n + 1}}- {u_n} = 2\), do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với \(d = 2\) .
D. Ta có: \({u_{n + 1}}- {u_n} = – 2\), do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với \(d = -2\).
vậy ta chọn đáp án B.