Sử dụng định nghĩa về hàm số chẵn, lẻ. Hướng dẫn giải Bài 1.15 trang 30 SGK Toán 11 tập 1 – Kết nối tri thức – Bài 3. Hàm số lượng giác. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: a) \(y = \sin 2x + \tan 2x\);…
Đề bài/câu hỏi:
Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a) \(y = \sin 2x + \tan 2x\); b) \(y = \cos x + {\sin ^2}x\);
c) \(y = \sin x\cos 2x\); d) \(y = \sin x + \cos x\).
Hướng dẫn:
Sử dụng định nghĩa về hàm số chẵn, lẻ
Lời giải:
a) Hàm số \(y = \sin 2x + \tan 2x\) có nghĩa khi \(tan 2x\) có nghĩa
\(\cos 2x \ne 0\;\; \Leftrightarrow 2x \ne \frac{\pi }{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\) \
Vây tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\;\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}} \right\}\)
Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì -x cũng thuộc tập xác định D
Ta có: \(f\left( { – x} \right) = \sin \left( { – 2x} \right) + \tan \left( { – 2x} \right) = – \sin 2x – \tan 2x = – \left( {\sin 2x + \tan 2x} \right) = – f\left( x \right),\;\forall x \in D\).
Vậy \(y = \sin 2x + \tan 2x\) là hàm số lẻ
b) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)
Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì -x cũng thuộc tập xác định D
Ta có: \(f\left( { – x} \right) = \cos \left( { – x} \right) + {\sin ^2}\left( { – x} \right) = \cos x + {\sin ^2}x = f\left( x \right),\;\forall x \in D\)
Vậy \(y = \cos x + {\sin ^2}x\) là hàm số chẵn
c) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)
Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì -x cũng thuộc tập xác định D
Ta có: \(f\left( { – x} \right) = \sin \left( { – x} \right)\cos \left( { – 2x} \right) = – \sin x.\cos 2x = – f\left( x \right),\;\forall x \in D\)
Vậy \(y = \sin x\cos \;2x\) là hàm số lẻ
d) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)
Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì -x cũng thuộc tập xác định D
Ta có: \(f\left( { – x} \right) = \sin \left( { – x} \right) + \cos \left( { – x} \right) = – \sin x + \cos x \ne f\left( x \right),\;\forall x \in D\)
Vậy \(y = \sin x + \cos x\) không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ