Phương trình \({\rm{cosx}} = m\), Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình vô nghiệm. Nếu \(\left| m \right| \le 1\. Vận dụng kiến thức giải Bài 4 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 – Chân trời sáng tạo – Bài tập cuối chương 1. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình lượng giác (cos2x = cosleft( {x + frac{pi }{3}} right)) là:…
Đề bài/câu hỏi:
Nghiệm âm lớn nhất của phương trình lượng giác \(cos2x = cos\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\) là:
\(\begin{array}{l}A. – \frac{\pi }{9}\\B. – \frac{{5\pi }}{3}\\C. – \frac{{7\pi }}{9}\\D. – \frac{{13\pi }}{9}\end{array}\)
Hướng dẫn:
Phương trình \({\rm{cosx}} = m\),
- Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình có nghiệm:
Khi \(\left| m \right| \le 1\)sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left[ {0;\pi } \right]\) thoả mãn \({\rm{cos}}\alpha = m\). Khi đó:
\({\rm{cosx}} = m \Leftrightarrow {\rm{cosx}} = {\rm{cos}}\alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = – \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Lời giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}cos2x = cos\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x = – x – \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = – \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Với \(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \),\(k \in \mathbb{Z}\) đạt giá trị âm lớn nhất khi k = – 1, khi đó \(x = \frac{\pi }{3} – 2\pi = \frac{{ – 5\pi }}{3}\)
Với \(x = – \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\),\(k \in \mathbb{Z}\) đạt giá trị âm lớn nhất khi k = 0, khi đó \(x = x = – \frac{\pi }{9} + 0.\frac{{2\pi }}{3} = – \frac{\pi }{9}\)
Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho là \( – \frac{\pi }{9}\). Đáp án: A