Giải Luyện tập, vận dụng 3 Bài 2. Giới hạn của hàm số (trang 66, 67, 68, 69) – SGK Toán 11 Cánh diều. Gợi ý: Sử dụng định nghĩa giới hạn một phía.
Câu hỏi/Đề bài:
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {4^ + }} \left( {\sqrt {x + 4} + x} \right)\)
Hướng dẫn:
Sử dụng định nghĩa giới hạn một phía.
– Cho hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\). Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số \(y = f(x)\)khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì thỏa mãn \(a < {x_n} < {x_0}\) và \({x_n} \to {x_0}\)ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ – } f(x) = L\).
– Cho hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng \(\left( {{x_0};b} \right)\). Số L là giới hạn bên của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì thỏa mãn \({x_0} < {x_n} < b\) và \({x_n} \to {x_0}\)ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = L\).
Lời giải:
Với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì \({x_n} > – 4\) và \({x_n} \to – 4,\) ta có:
\(\begin{array}{c}\mathop {\lim }\limits_{{x_n} \to – {4^ + }} \left( {\sqrt {{x_n} + 4} + {x_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{x_n} \to – {4^ + }} \sqrt {{x_n} + 4} + \mathop {\lim }\limits_{{x_n} \to – {4^ + }} {x_n} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{{x_n} \to – {4^ + }} \left( {{x_n} + 4} \right)} + \left( { – 4} \right)\\ = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{{x_n} \to – {4^ + }} {x_n} + 4} – 4 = \sqrt { – 4 + 4} – 4 = – 4\end{array}\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {4^ + }} \left( {\sqrt {x + 4} + x} \right) = – 4\)