Bài 4 trang 79 Toán 11 tập 1 – Cánh Diều: Tính các giới hạn sau: a) mathop lim limits_x -> – ∇ 6x + 8/5x – 2

Đề bài/câu hỏi:

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x – 2}}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x – 2}}\);

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} – x + 1} }}{{3x – 2}}\);

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} – x + 1} }}{{3x – 2}}\);

e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ – }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}}\);

g) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ + }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}}\).

Hướng dẫn:

Sử dụng phương pháp:

– Chia cả tử và mẫu cho \({x^n}\), với n là số mũ cao nhất trong biểu thức đối với câu a, b.

– Câu c, d: \(\sqrt {{x^2}} = \left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x,x \to + \infty \\ – x,x \to – \infty \end{array} \right.\)

– Câu d, e sử dụng giới hạn cơ bản sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \frac{1}{{x – a}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ – }} \frac{1}{{x – a}} = – \infty \)

Lời giải:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{x\left( {6 + \frac{8}{x}} \right)}}{{x\left( {5 – \frac{2}{x}} \right)}} = \frac{6}{5}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {6 + \frac{8}{x}} \right)}}{{x\left( {5 – \frac{2}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{6 + \frac{8}{x}}}{{5 – \frac{2}{x}}} = \frac{6}{5}\).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} – x + 1} }}{{3x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – x\sqrt {9 – \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {3 – \frac{2}{x}} \right)}} = – \frac{3}{3} = – 1\).

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} – x + 1} }}{{3x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{x\sqrt {9 – \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {3 – \frac{2}{x}} \right)}} = \frac{3}{3} = 1\).

e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ – }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}} = – \infty \)

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ – }} \left( {3{x^2} + 1} \right) = 3.{\left( { – 2} \right)^2} + 1 = 13 > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ – }} \frac{1}{{2x + 4}} = – \infty \)

g) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ + }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}} = + \infty \).

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ + }} \left( {3{x^2} + 1} \right) = 3.{\left( { – 2} \right)^2} + 1 = 13 > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ + }} \frac{1}{{2x + 4}} = + \infty \)