Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại \({x_0}\. Hướng dẫn giải Bài 5 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 – Cánh Diều – Bài tập cuối chương 3. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + a}&{{\rm{ }}x < 2}\\4&{{\rm{ }}x = 2}\\{ – 3x + b}&{{\rm{ }}\,…
Đề bài/câu hỏi:
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + a}&{{\rm{ }}x 2}\end{array}} \right.\)
a) Với \(a = 0,b = 1\), xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 2\).
b) Với giá trị nào của a, b thì hàm số liên tục tại \(x = 2\) ?
c) Với giá trị nào của a, b thì hàm số liên tục trên tập xác định?
Hướng dẫn:
– Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
– Các hàm đa thức liên tục trên \(\mathbb{R}\)
Lời giải:
Với a = 0, b = 1, hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x}&{{\rm{ }}x 2}\end{array}} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { – 3x + 1} \right) = – 3.2 + 1 = – 5\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \left( {2x} \right) = 2.2 = 4\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)\end{array}\)
Do đó không tồn tại giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\)
Vậy hàm số không liên tục tại x = 2.
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { – 3x + b} \right) = – 3.2 + b = – 6 + b\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \left( {2x + a} \right) = 2.2 + a = 4 + a\\f\left( 2 \right) = 4\end{array}\)
Để hàm số liên tục tại x = 2 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\)
\( \Leftrightarrow – 6 + b = 4 + a = 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 + a = 4\\ – 6 + b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 10\end{array} \right.\)
Vậy với a = 0 và b = 10 thì hàm số liên tục tại x = 2.
c) Tập xác định của hàm số là: ℝ.
Với x < 2 thì \(f\left( x \right) = 2x + a\) là hàm đa thức nên liên tục.
Với x > 2 thì \(f\left( x \right) = -3x + b\) là hàm đa thức nên liên tục.
Do đó để hàm số liên tục trên ℝ thì hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại x = 2.
Vậy với a = 0 và b = 10 thỏa mãn điều kiện.