Dựa vào công thức tổng quát của cấp số cộng để xác định. Giải chi tiết Bài 2 trang 52 SGK Toán 11 tập 1 – Cánh diều – Bài 2. Cấp số cộng. Trong các dãy số (left( {{u_n}} right)) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng?…
Đề bài/câu hỏi:
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? Nếu là cấp số cộng, hãy tìm số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d.
a) \({u_n} = 3 – 2n\)
b) \({u_n} = \frac{{3n + 7}}{5}\)
c) \({u_n} = {3^n}\)
Hướng dẫn:
Dựa vào công thức tổng quát của cấp số cộng để xác định
Lời giải:
a) Dãy số trên là cấp số cộng
Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d \Rightarrow {u_1} + \left( {n – 1} \right)d = 3 – 2n\\ \Leftrightarrow {u_1} + nd – d = 3 – 2n\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} – d = 3\\nd = – 2n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = – 2\end{array} \right.\end{array}\)
b) Dãy số trên là cấp số cộng
Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d \Rightarrow {u_1} + \left( {n – 1} \right)d = \frac{{3n + 7}}{5}\\ \Leftrightarrow {u_1} + nd – d = \frac{{3n}}{5} + \frac{7}{5}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} – d = \frac{7}{5}\\nd = \frac{3}{5}n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d = \frac{3}{5}\end{array} \right.\end{array}\)
c) Dãy số đã cho không là cấp số cộng
Ta có: \( u_{n+1} = 3^{n+1} = 3.3^n \)
Xét hiệu \( u_{n+1} – u_n = 3.3^n – 3^n = 2.3^n \) với n ∈ ℕ*