Bài 9.4 trang 57 SBT toán 11 – Kết nối tri thức: Tính đạo hàm của hàm số a) y = ax^2 (a là hằng số) tại điểm x_0 bất kì. b) y = 1/x – 1 tại điểm x_0 bất kì

Đề bài/câu hỏi:

Tính đạo hàm của hàm số

a) \(y = a{x^2}\) (\(a\) là hằng số) tại điểm \({x_0}\) bất kì.

b) \(y = \frac{1}{{x – 1}}\) tại điểm \({x_0}\) bất kì, \({x_0} \ne 1\).

Hướng dẫn:

Để tính đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \({x_0} \in (a;b)\), ta thực hiện theo các bước sau:

1. Tính \(f(x) – f\left( {{x_0}} \right)\).

2. Lập và rút gọn tỉ số \(\frac{{f(x) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}\) với \(x \in (a;b),x \ne {x_0}\).

3. Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}\).

Lời giải:

a) \(y’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ax_{}^2 – ax_0^2}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} a\left( {x + {x_0}} \right) = 2a{x_0}\) b) \(y’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{1}{{x – 1}} – \frac{1}{{{x_0} – 1}}}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ { – \frac{1}{{\left( {x – 1} \right)\left( {{x_0} – 1} \right)}}} \right] = – \frac{1}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}},{x_0} \ne 1\)