Nếu \({u_{n + 1}} – {u_n} = \)hằng số với \(\forall n \in \mathbb{N}*\) thì dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\. Hướng dẫn giải Giải bài 27 trang 70 sách bài tập toán 11 – Kết nối tri thức với cuộc sống – Bài tập ôn tập cuối năm. Xét xem các dãy số với công thức tổng quát sau có phải là cấp số cộng/cấp số nhân hay…
Đề bài/câu hỏi:
Xét xem các dãy số với công thức tổng quát sau có phải là cấp số cộng/cấp số nhân hay không. Tìm số hạng đầu tiên và công sai/công bội nếu có.
a) \({u_n} = 5n – 7\);
b) \({u_n} = 9 \cdot {2^n}\);
c) \({u_n} = {n^2} – n + 1\).
Hướng dẫn:
Nếu \({u_{n + 1}} – {u_n} = \)hằng số với \(\forall n \in \mathbb{N}*\) thì dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)là cấp số cộng
Nếu \({u_{n + 1}} = {u_n}.q\) với \(q\) là hằng số với \(\forall n \in \mathbb{N}*\) thì dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)là cấp số nhân
Lời giải:
a) Ta có \({u_{n + 1}} = 5\left( {n + 1} \right) – 7 = 5n – 2\), suy ra
\({u_{n + 1}} – {u_n} = 5n – 2 – \left( {5n – 7} \right) = 5\forall n.\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng và \({u_1} = – 2,d = 5\).
Lại có \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{3}{{ – 2}} \ne \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \frac{8}{3}\) nên \(\left( {{u_n}} \right)\) không là cấp số nhân.
b) Ta có \({u_{n + 1}} = 9 \cdot {2^{n + 1}} = 18 \cdot {2^n}\), suy ra \({u_{n + 1}}:{u_n} = 2\forall n\).
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân và \({u_1} = 18,q = 2\).
Lại có \({u_2} – {u_1} = 36 – 18 \ne {u_3} – {u_2} = 72 – 36\) nên \(\left( {{u_n}} \right)\) không là cấp số cộng.
c) Ta có \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{3}{1} \ne \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \frac{7}{3}\) nên \(\left( {{u_n}} \right)\) không là cấp số nhân.
Lại có \({u_2} – {u_1} = 3 – 1 \ne {u_3} – {u_2} = 7 – 3\) nên \(\left( {{u_n}} \right)\) không là cấp số cộng.