Áp dụng các công thức lượng giác \(\sin a\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a – b} \right) – \cos \left( {a + b} \right)}. Lời giải bài tập, câu hỏi Giải bài 26 trang 70 sách bài tập toán 11 – Kết nối tri thức với cuộc sống – Bài tập ôn tập cuối năm. Chứng minh rằng:…
Đề bài/câu hỏi:
Chứng minh rằng:
a) \({\rm{sin}}3x = 4{\rm{sin}}x{\rm{sin}}\left( {{{60}^ \circ } – x} \right){\rm{sin}}\left( {{{60}^ \circ } + x} \right)\);
b) \(\frac{{{\rm{sin}}x – {\rm{sin}}2x + {\rm{sin}}3x}}{{{\rm{cos}}x – {\rm{cos}}2x + {\rm{cos}}3x}} = {\rm{tan}}2x\).
Hướng dẫn:
Áp dụng các công thức lượng giác
\(\sin a\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a – b} \right) – \cos \left( {a + b} \right)} \right]\)
\(\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a – b} \right) + \sin \left( {a + b} \right)} \right]\)
\(\cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u – v}}{2}\)
\(\sin u + \sin v = 2\sin \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u – v}}{2}\)
Lời giải:
a) Vế phải \( = 4{\rm{sin}}x{\rm{sin}}\left( {{{60}^ \circ } – x} \right){\rm{sin}}\left( {{{60}^ \circ } + x} \right) = 2{\rm{sin}}x\left[ {{\rm{cos}}2x – {\rm{cos}}{{120}^ \circ }} \right]\)
\( = 2{\rm{sin}}x{\rm{cos}}2x + {\rm{sin}}x = {\rm{sin}}3x + {\rm{sin}}\left( { – x} \right) + {\rm{sin}}x = {\rm{sin}}3x{\rm{.}}\)\( = \frac{{\sin x – \sin 2x + \sin 3x}}{{\cos x – \cos 2x + \cos 3x}} = \frac{{2\sin 2x\cos x – \sin 2x}}{{2\cos 2x\cos x – \cos 2x}}{\rm{\;}}\)
b) VT\( = \frac{{{\rm{sin}}2x\left( {2{\rm{cos}}x – 1} \right)}}{{{\rm{cos}}2x\left( {2{\rm{cos}}x – 1} \right)}}\)\( = \frac{{{\rm{sin}}2x}}{{{\rm{cos}}2x}} = {\rm{tan}}2x = \)vế phải