Lời giải Câu 14 Bài tập cuối chương 3 (trang 91, 92, 93) – SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo. Tham khảo: Sử dung kiến thức về hàm số liên tục trên một đoạn để tìm k.
Câu hỏi/Đề bài:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\tan x\;\;\;\;\;\;\,khi\;0 < x \le \frac{\pi }{4}\\k – \cot x\;\,khi\;\frac{\pi }{4} < x \le \frac{\pi }{2}\end{array} \right.\) liên tục tại trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\). Giá trị của k bằng
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. \(\frac{\pi }{2}\).
Hướng dẫn:
+ Sử dung kiến thức về hàm số liên tục trên một đoạn để tìm k: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) nếu f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ – }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\).
+ Sử dụng kiến thức về định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm để tìm k: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng K và \({x_0} \in K\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
Lời giải:
Để hàm số f(x) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) thì hàm số f(x) liên tục tại \(x = \frac{\pi }{4}\), \(x = 0\) và \(x = \frac{\pi }{2}\).
Hàm số f(x) liên tục tại \(x = \frac{\pi }{4}\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{4}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{4}} \right)}^ – }} f\left( x \right) = f\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{4}} \right)}^ – }} \left( {\tan x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{4}} \right)}^ + }} \left( {k – \cot x} \right) = \tan \frac{\pi }{4}\)
\( \Leftrightarrow \tan \frac{\pi }{4} = k – \cot \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow k – 1 = 1 \Leftrightarrow k = 2\)
Hàm số f(x) liên tục tại \(x = 0\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \tan 0 = \tan 0\) (luôn đúng)
Hàm số f(x) liên tục tại \(x = \frac{\pi }{2}\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ – }} f\left( x \right) = f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ – }} \left( {k – \cot \frac{\pi }{2}} \right) = k – \cot \frac{\pi }{2}\) \( \Leftrightarrow k – \cot \frac{\pi }{2} = k – \cot \frac{\pi }{2}\) (luôn đúng)
Vậy \(k = 2\).
Chọn C