Giải Câu 13 Bài tập cuối chương 3 (trang 91, 92, 93) – SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo. Gợi ý: Sử dụng kiến thức về định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm để tìm a.
Câu hỏi/Đề bài:
Biết rằng hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2 – \sqrt {x + 1} }}{{x – 3}}\;\;khi\;x \ne 3\\\;\;\;\;\;\;\;a\;\;\;\;\;\;\;\;\,khi\;x = 3\end{array} \right.\) liên tục tại điểm \(x = 3\). Giá trị của a bằng
A. \( – \frac{1}{4}\).
B. \(\frac{1}{4}\).
C. \( – 2\).
D. 3.
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm để tìm a: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng K và \({x_0} \in K\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
Lời giải:
Hàm số f(x) có tập xác định \(D = \left[ { – 1;3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\) chứa điểm 3.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2 – \sqrt {x + 1} }}{{x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {2 – \sqrt {x + 1} } \right)\left( {2 + \sqrt {x + 1} } \right)}}{{\left( {x – 3} \right)\left( {2 + \sqrt {x + 1} } \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{3 – x}}{{\left( {x – 3} \right)\left( {2 + \sqrt {x + 1} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ – 1}}{{2 + \sqrt {x + 1} }} = \frac{{ – 1}}{{2 + \sqrt {3 + 1} }} = \frac{{ – 1}}{4}\)
Để f(x) liên tục tại \(x = 3\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) \Rightarrow a = \frac{{ – 1}}{4}\)
Chọn A