Trang chủ Lớp 11 Toán lớp 11 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo Bài 4 trang 122 SBT toán 11 – Chân trời sáng tạo...

Bài 4 trang 122 SBT toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD

Sử dụng kiến thức về điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng để chứng minh. Hướng dẫn giải Giải bài 4 trang 122 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1 – Bài 3. Đường thẳng và mặt phẳng song song. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,…

Đề bài/câu hỏi:

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD, P là trung điểm của SA. Chứng minh:

a) MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD);

b) SB song song với (MNP);

c) SC song song với (MNP);

d) Gọi \({G_1}\) và \({G_2}\) theo thứ tự là trọng tâm của hai tam giác ABC và SBC. Chứng minh \({G_1}{G_2}\) song song với (SAD).

Hướng dẫn:

Sử dụng kiến thức về điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng để chứng minh: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng b nào đó nằm trong (P) thì a song song với (P).

Lời giải:

a) Hình bình hành ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD nên MN//AD//BC.

Ta có: MN//BC, \(BC \subset \left( {SBC} \right)\) và MN không nằm trong mặt phẳng (SBC) nên MN// (SBC).

Lại có: MN//AD, \(AD \subset \left( {SAD} \right)\) và MN không nằm trong mặt phẳng (SAD) nên MN// (SAD).

b) Vì P, M lần lượt là trung điểm của SA, AB nên PM là đường trung bình của tam giác SAB. Do đó, PM//SB. Mà \(PM \subset \left( {MNP} \right)\), SB không nằm trong mặt phẳng (MNP) nên SB//(MNP).

c) Trong mặt phẳng (SAB), vẽ đường thẳng d đi qua S và song song với AB.

Gọi E là giao điểm của MP và d.

Ta có: ES//AB, mà AB//CD nên ES//DC hay ES//NC (1)

Vì ES//MB, EM//SB nên tứ giác MBSE là hình bình hành, suy ra \(ES = MB\)

Mà \(MB = NC\) (vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, DC và \(AB = DC\)), suy ra: \(ES = NC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ESCN là hình bình hành nên SC//NE.

Mà \(NE \subset \left( {MNP} \right)\), SC không nằm trong mặt phẳng (MNP) nên SC//(MNP).

d) Gọi I là trung điểm của BC.

Vì \({G_1}\) và \({G_2}\) lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và SBC nên \(\frac{{I{G_1}}}{{IA}} = \frac{{I{G_2}}}{{IS}} = \frac{1}{3}\).

Tam giác SIA có: \(\frac{{I{G_1}}}{{IA}} = \frac{{I{G_2}}}{{IS}} = \frac{1}{3}\) nên \({G_1}{G_2}//SA\) (định lí Thalès đảo)

Mà \(SA \subset \left( {SAD} \right)\), \({G_1}{G_2}\) không nằm trong mặt phẳng (SAD) nên \({G_1}{G_2}//\left( {SAD} \right)\).