Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy. Hướng dẫn trả lời Giải bài 20 trang 95 sách bài tập toán 11 – Cánh diều – Bài 2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right).\) Gọi M, N,…
Đề bài/câu hỏi:
Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right).\) Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm của ba tam giác SAB, SBC, SCA. Chứng minh rằng \(SA \bot \left( {MNP} \right).\)
Hướng dẫn:
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
Lời giải:
Gọi H, K, I lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA.
Theo giả thiết ta có: \(\frac{{SM}}{{SH}} = \frac{{SN}}{{SK}} = \frac{{SP}}{{SI}} = \frac{2}{3}.\)
Theo định lý Ta-lét: Trong tam giác SHK có \(MN{\rm{ // }}HK,\) trong tam giác SHI có \(MP{\rm{ // }}HI.\) Mà \(HK \subset \left( {ABC} \right),{\rm{ }}HI \subset \left( {ABC} \right)\) nên \(MN{\rm{ // }}\left( {ABC} \right),{\rm{ }}MP{\rm{ // }}\left( {ABC} \right).\)Mà, MN, MP cắt nhau trong mặt phẳng (MNP) nên \(\left( {MNP} \right){\rm{ // }}\left( {ABC} \right).\)
Ta lại có, \(SA \bot \left( {ABC} \right).\) Vậy \(SA \bot \left( {MNP} \right).\)