Bài 12 trang 11 SBT toán 11 – Cánh diều: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có: a) sin B = sin A + C

Đề bài/câu hỏi:

Chứng minh rằng trong tam giác \(ABC\), ta có:

a) \(\sin B = \sin \left( {A + C} \right)\)

b) \(\cos C = – \cos \left( {A + B + 2C} \right)\)

c) \(\sin \frac{A}{2} = \cos \frac{{B + C}}{2}\)

d) \(\tan \frac{{A + B – 2C}}{2} = \cot \frac{{3C}}{2}\)

Hướng dẫn:

Sử dụng định lí tổng 3 góc trong một tam giác: \(A + B + C = \pi \)

a) Sử dụng công thức \(\sin x = \sin \left( {\pi – x} \right)\)

b) Sử dụng công thức \(\cos \left( {\pi + x} \right) = – \cos x\)

c) Sử dụng công thức \(\sin x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)\)

d) Sử dụng công thức \(\tan x = \cot \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)\)

Lời giải:

Trong tam giác \(ABC\), ta có \(A + B + C = \pi \).

a) Do \(A + B + C = \pi \Rightarrow A + C = \pi – B \Rightarrow \sin \left( {A + C} \right) = \sin \left( {\pi – B} \right) = \sin B\).

b) Do \(A + B + C = \pi \Rightarrow A + B + 2C = \pi + C\)

\( \Rightarrow \cos \left( {A + B + 2C} \right) = \cos \left( {\pi + C} \right) = – \cos C\)

c) Do \(A + B + C = \pi \Rightarrow \frac{{A + B + C}}{2} = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \frac{{B + C}}{2} = \frac{\pi }{2} – \frac{A}{2}\)

\( \Rightarrow \sin \frac{A}{2} = \cos \left( {\frac{\pi }{2} – \frac{A}{2}} \right) = \cos \frac{{B + C}}{2}\)

d)

Do \(A + B + C = \pi \Rightarrow \frac{{A + B + C}}{2} = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \frac{{A + B – 2C}}{2} = \frac{{A + B + C – 3C}}{2} = \frac{\pi }{2} – \frac{{3C}}{2}\)

\( \Rightarrow \tan \frac{{A + B – 2C}}{2} = \tan \left( {\frac{\pi }{2} – \frac{{3C}}{2}} \right) = \cot \frac{{3C}}{2}\).