Trang chủ Lớp 11 Toán lớp 11 SBT Toán 11 - Cánh diều Bài 9 trang 11 SBT toán 11 – Cánh diều: Chứng minh...

Bài 9 trang 11 SBT toán 11 – Cánh diều: Chứng minh rằng: a) sin ^4x + cos ^4x = 1 – 2sin ^2xcos ^2x. b) sin ^6x + cos ^6x = 1 – 3sin ^2xcos ^2x

Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) với \(A = {\sin ^2}x\), \(B = {\cos ^2}x\. Gợi ý giải Giải bài 9 trang 11 sách bài tập toán 11 – Cánh diều – Bài 1. Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác. Chứng minh rằng:…

Đề bài/câu hỏi:

Chứng minh rằng:

a) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\).

b) \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 – 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\).

Hướng dẫn:

a) Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) với \(A = {\sin ^2}x\), \(B = {\cos ^2}x\)

Sử dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\).

b) Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + {B^3} + 3AB\left( {A + B} \right)\) với \(A = {\sin ^2}x\), \(B = {\cos ^2}x\); Sử dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\).

Lời giải:

a) Ta có: \({\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^2} + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)

\( = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)

Do \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\), ta suy ra

\({1^2} = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \Rightarrow {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)

Bài toán được chứng minh.

b) Ta có: \({\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^3} + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\)

\( = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\)

Do \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\), ta suy ra

\(1 = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x \Rightarrow {\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 – 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)

Bài toán được chứng minh.