Giải Vận dụng Bài 4. Nhị thức Newton (trang 35, 36) – Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức.
Câu hỏi/Đề bài:
a) Viết khai triển nhị thức Newton của \({(1 + x)^n}\)
b) Cho \(x = 1\) trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này với lưu ý rằng \(C_n^k(0 \le k \le n)\) chính là số tập con gồm k phần tử của một tập hợp có n phần tử.
c) Tương tự, cho \(x = – 1\) trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này.
Lời giải:
a) \({(1 + x)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + … + C_n^n{x^n}\)
b) Thay \(x = 1\) trong khai triển ở câu a), ta được:
\({2^n} = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + … + C_n^n\)
Với \(C_n^k(0 \le k \le n)\) chính là số tập con gồm k phần tử của một tập hợp có n phần tử, thì vế phải là tổng số tập con của tập hợp có n phần tử.
=> Số tập con của tập có n phần tử là: \({2^n}\)
c) Thay \(x = – 1\) trong khai triển ở câu a), ta được:
\(\begin{array}{l}0 = C_n^0 – C_n^1 + C_n^2 + … + {( – 1)^n}C_n^n{x^n}\\ \Leftrightarrow C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + … = C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + …\end{array}\)
Ý nghĩa: Tập hợp có n phần tử có số tập con có chẵn phần tử = số tập con có lẻ phần tử.