Số hạng chứa \({x^k}\) trong khai triển của \({(ax + b)^n}\) là \(C_n^{n – k}{(ax)^k}{b^{n – k}}\) Do đó hệ số của \({x^k}\. Hướng dẫn trả lời Giải bài 2.12 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức – Bài 4. Nhị thức Newton – Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức. Biết hệ số của \({x^2}\) trong khai triển của \({(1 – 3x)^n}\) là 90. Tìm n….
Đề bài/câu hỏi:
Biết hệ số của \({x^2}\) trong khai triển của \({(1 – 3x)^n}\) là 90. Tìm n.
Hướng dẫn:
Số hạng chứa \({x^k}\) trong khai triển của \({(ax + b)^n}\) là \(C_n^{n – k}{(ax)^k}{b^{n – k}}\)
Do đó hệ số của \({x^k}\) trong khai triển của \({(ax + b)^n}\) là \(C_n^{n – k}{a^k}{b^{n – k}}\)
Lời giải:
Số hạng chứa \({x^k}\) trong khai triển của \({(1 – 3x)^n}\) hay \({( – 3x + 1)^n}\) là \(C_n^{n – k}{( – 3x)^k}{1^{n – k}}\)
Số hạng chứa \({x^2}\) ứng với \(k = 2\), tức là số hạng \(C_n^{n – 2}{( – 3x)^2}\) hay \(9.C_n^{n – 2}\)
Do đó \(9.C_n^{n – 2} = 90 \Leftrightarrow C_n^{n – 2} = 10 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n – 2} \right)!(n – (n – 2))!}} = 10\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n – 2} \right)!2!}} = 10 \Leftrightarrow \frac{{n(n – 1)}}{2} = 10\\ \Leftrightarrow {n^2} – n – 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = – 4\;(L)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(n = 5\) thì hệ số của \({x^2}\) trong khai triển của \({(1 – 3x)^n}\) là 90.