Cho đường conic có tâm sai \(e > 0\), đường chuẩn \(\Delta \) không đi qua tiêu điểm F. Khi đó: \(\frac{{MF}}{{d(M. Trả lời Giải bài 3.21 trang 61 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức với cuộc sống – Bài tập cuối chuyên đề 3 – Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức. Cho đường conic (S) có tâm sai bằng 2, một tiêu điểm (F( – 2;…
Đề bài/câu hỏi:
Cho đường conic (S) có tâm sai bằng 2, một tiêu điểm \(F( – 2;5)\) và đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm đó là \(\Delta :x + y – 1 = 0\). Chứng minh rằng, điểm \(M(x;y)\) thuộc đường conic (S) khi và chỉ khi \({x^2} + {y^2} + 4xy – 8x + 6y – 27 = 0\) (được gọi là phương trình của (S), tuy vậy không phải là phương trình chính tắc). Hỏi (S) là đường gì trong ba đường conic?
Hướng dẫn:
Cho đường conic có tâm sai \(e > 0\), đường chuẩn \(\Delta \) không đi qua tiêu điểm F.
Khi đó: \(\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = e\) với M bất kì thuộc conic đó.
Lời giải:
Điểm \(M(x;y)\) thuộc đường conic khi và chỉ khi
\(\begin{array}{l}\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{{(x + 2)}^2} + {{(y – 5)}^2}} = 2\frac{{\left| {x + y – 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow {(x + 2)^2} + {(y – 5)^2} = 2.{\left( {x + y – 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 + {y^2} – 10y + 25 = 2.\left( {{x^2} + {y^2} – 2x – 2y + 2xy + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 4xy – 8x + 6y – 27 = 0\end{array}\)
Vì \(e = 2 > 1\) nên đường conic là đường hypebol.