Cho đường conic có tâm sai \(e > 0\), đường chuẩn \(\Delta \) không đi qua tiêu điểm F. Khi đó: \(\frac{{MF}}{{d(M. Giải chi tiết Giải bài 3.22 trang 61 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức với cuộc sống – Bài tập cuối chuyên đề 3 – Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức. Viết phương trình đường conic biết tâm sai bằng (e = frac{1}{{sqrt 2 }}), một tiêu điểm (F( – 1;…
Đề bài/câu hỏi:
Viết phương trình đường conic biết tâm sai bằng \(e = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\), một tiêu điểm \(F( – 1;0)\) và đường chuẩn tương ứng \(\Delta :x + y + 1 = 0\)
Hướng dẫn:
Cho đường conic có tâm sai \(e > 0\), đường chuẩn \(\Delta \) không đi qua tiêu điểm F.
Khi đó: \(\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = e\) với M bất kì thuộc conic đó.
Lời giải:
Điểm \(M(x;y)\) thuộc đường conic khi và chỉ khi
\(\begin{array}{l}\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \sqrt 2 \sqrt {{{(x + 1)}^2} + {y^2}} = \frac{{\left| {x + y + 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow 4\left[ {{{(x + 1)}^2} + {y^2}} \right] = {\left( {x + y + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4.\left( {{x^2} + {y^2} + 2x + 1} \right) = {x^2} + {y^2} + 2x + 2y + 2xy + 1\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} – 2xy + 6x – 2y + 3 = 0\end{array}\)
Vậy đường conic có phương trình là \(3{x^2} + 3{y^2} – 2xy + 6x – 2y + 3 = 0\)
Vì \(0 < \frac{1}{{\sqrt 2 }} < 1\) nên đường conic là đường elip.