Lời giải bài tập, câu hỏi Giải bài 2.16 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức – Bài 4. Nhị thức Newton – Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn…
Đề bài/câu hỏi:
Tìm số tự nhiên n thỏa mãn
\(C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + C_{2n}^4… + C_{2n}^{2n} = {2^{2021}}\)
Lời giải:
\({(1 + x)^{2n}} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1x + C_{2n}^2{x^2} + … + C_{2n}^{2n}{x^{2n}}\)
Thay \(x = 1\) vào hai vế, ta suy ra
\(C_{2n}^0 + C_{2n}^1 + C_{2n}^2 + … + C_{2n}^{2n} = {2^{2n}}\)
Thay \(x = – 1\) vào hai vế, ta suy ra
\(C_{2n}^0 – C_{2n}^1 + C_{2n}^2 – … + C_{2n}^{2n} = 0\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {C_{2n}^0 + C_{2n}^1 + C_{2n}^2 + … + C_{2n}^{2n}} \right) + \left( {C_{2n}^0 – C_{2n}^1 + C_{2n}^2 – … + C_{2n}^{2n}} \right) = {2^{2n}}\\ \Leftrightarrow 2\left( {C_{2n}^0 + C_{2n}^1 + C_{2n}^2 + … + C_{2n}^{2n}} \right) = {2^{2n}}\\ \Leftrightarrow C_{2n}^0 + C_{2n}^1 + C_{2n}^2 + … + C_{2n}^{2n} = {2^{2n – 1}}\\ \Leftrightarrow 2n – 1 = 2021\\ \Leftrightarrow n = 1011\end{array}\)