Giải chi tiết Thực hành 5 Bài 2. Nhị thức Newton (trang 37, 38) – Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo. Tham khảo: Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + . .
Câu hỏi/Đề bài:
Chứng minh rằng, với mọi \(n \in \mathbb{N}*\), ta có
\(C_n^0 – C_n^1 + C_n^2 – C_n^3 + … + {\left( { – 1} \right)^n}C_n^n = 0\)
Hướng dẫn:
Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}\)
Lời giải:
Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
\({(1 + x)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + … + C_n^n{x^n}\)
Thay \(x = – 1\) ta được:
\(0 = C_n^0 + ( – 1)C_n^1 + {( – 1)^2}C_n^2 + {( – 1)^3}C_n^3 + … + {\left( { – 1} \right)^n}C_n^n\)
Hay \(C_n^0 – C_n^1 + C_n^2 – C_n^3 + … + {\left( { – 1} \right)^n}C_n^n = 0\)