Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + . . . Vận dụng kiến thức giải Giải bài 3 trang 39 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo – Bài 2. Nhị thức Newton – Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo. Biết rằng a là một số thực khác 0 và trong khai triển của \({(ax + 1)^6}\),…
Đề bài/câu hỏi:
Biết rằng a là một số thực khác 0 và trong khai triển của \({(ax + 1)^6}\), hệ số của \({x^4}\) gấp 4 lần hệ số của \({x^4}\). Tìm giá trị của a.
Hướng dẫn:
Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}\)
Số hạng chứa \({x^k}\) trong khai triển của \({(ax + b)^n}\) là \(C_n^{n – k}{(ax)^k}{b^{n – k}}\)
Do đó hệ số của \({x^k}\) trong khai triển của \({(ax + b)^n}\) là \(C_n^{n – k}{a^k}{b^{n – k}}\)
Lời giải:
Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
\({(ax + 1)^6} = C_6^0{\left( {ax} \right)^6} + C_6^1{\left( {ax} \right)^5} + … + C_6^k{\left( {ax} \right)^{6 – k}} + … + C_6^6\)
Số hạng chứa \({x^4}\) ứng với \(6 – k = 4\) hay \(k = 2\). Hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) là \(C_6^2{a^4}\)
Số hạng chứa \({x^2}\) ứng với \(6 – k = 2\) hay \(k = 4\). Hệ số của số hạng chứa \({x^2}\) là \(C_6^4{a^2}\)
Theo giả thiết ta có: \(C_6^2{a^4} = 4C_6^4{a^2} \Leftrightarrow 15{a^4} = 4.15{a^2} \Leftrightarrow {a^2} = 4\) (do \(a \ne 0\))\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\\a = – 2\end{array} \right.\)
Vậy \(a = 2\) hoặc \(a = – 2\).