Số hạng chứa \({x^k}\) trong khai triển của \({(ax + b)^n}\) là \(C_n^{n – k}{(ax)^k}{b^{n – k}}\) Do đó hệ số của \({x^k}\. Gợi ý giải Giải bài 4 trang 39 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo – Bài 2. Nhị thức Newton – Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo. Biết hệ số của \({x^2}\) trong khai triển của \({(1 + 3x)^n}\) là 90. Tìm giá trị của n….
Đề bài/câu hỏi:
Biết hệ số của \({x^2}\) trong khai triển của \({(1 + 3x)^n}\) là 90. Tìm giá trị của n.
Hướng dẫn:
Số hạng chứa \({x^k}\) trong khai triển của \({(ax + b)^n}\) là \(C_n^{n – k}{(ax)^k}{b^{n – k}}\)
Do đó hệ số của \({x^k}\) trong khai triển của \({(ax + b)^n}\) là \(C_n^{n – k}{a^k}{b^{n – k}}\)
Lời giải:
Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
\({(1 + 3x)^n} = C_n^0 + C_n^1\left( {3x} \right) + … + C_n^k{\left( {3x} \right)^k} + … + C_n^n{\left( {3x} \right)^n}\)
Số hạng chứa \({x^2}\) ứng với \(k = 2\), tức là số hạng \(C_n^2{(3x)^2}\). Do đó hệ số là \(9.C_n^2\)
Do đó \(9.C_n^2 = 90 \Leftrightarrow C_n^{n – 2} = 10 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!(n – 2)!}} = 10\)
\( \Leftrightarrow \frac{{n(n – 1)}}{2} = 10 \Leftrightarrow {n^2} – n – 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = – 4\;(L)\end{array} \right.\)
Vậy \(n = 5\) thì hệ số của \({x^2}\) trong khai triển của \({(1 + 3x)^n}\) là 90.