Đáp án Thực hành 2 Bài 1. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn (trang 8, 9, 10, 11) – Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo.
Câu hỏi/Đề bài:
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss
a) \(\left\{ \begin{array}{l}x – 2y = 1\\x + 2y – z = – 2\\x – 3y + z = 3\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}3x – y + 2z = 2\\x + 2y – z = 1\\2x – 3y + 3z = 2\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x – y + z = 0\\x – 4y + 2z = – 1\\4x – y + 3z = 1\end{array} \right.\)
Lời giải:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}x – 2y = 1\quad \quad \quad (1)\\x + 2y – z = – 2\quad (2)\\x – 3y + z = 3\quad \;\;\,(3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (3) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (1), giữ nguyên phương trình (1) và (2) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x – 2y = 1\quad \quad \quad (1)\\x + 2y – z = – 2\quad (2)\\\quad y – z = – 2\quad \;\;\,(3.1)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (1) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (3.1) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x – 2y = 1\quad \quad \quad (1)\\\quad \;4y – z = – 3\quad (2.1)\\\quad y – z = – 2\quad \;\;\,(3.1)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (3) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (2.1) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x – 2y = 1\quad \quad \quad (1)\\\quad \;4y – z = – 3\quad (2.1)\\\quad \;3y = – 1\quad \quad \,(3.2)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (3.2) ta có \(y = \frac{{ – 1}}{3}\)
Thay \(y = \frac{{ – 1}}{3}\) vào phương trình (2.1) ta được \(z = \frac{5}{3}\)
Thay \(y = \frac{{ – 1}}{3}\) và \(z = \frac{5}{3}\) vào phương trình (1) ta được \(x = \frac{1}{3}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( {\frac{1}{3};\frac{{ – 1}}{3};\frac{5}{3}} \right)\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}3x – y + 2z = 2\quad \quad (1)\\x + 2y – z = 1\quad \;\;\quad (2)\\2x – 3y + 3z = 2\quad \;\;\,(3)\end{array} \right.\)
Cộng vế với vế của phương trình (2) với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}3x – y + 2z = 2\quad \quad (1)\\3x – y + 2z = 3\quad \quad (2.1)\\2x – 3y + 3z = 2\quad \;\;\,(3)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (1) và (2.1) suy ra 2 = 3 (Vô lí)
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x – y + z = 0\quad \quad (1)\\x – 4y + 2z = – 1\;(2)\\4x – y + 3z = 1\quad (3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (2) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (1), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x – y + z = 0\quad \quad (1)\\\quad 3y – z = 1\quad \;(2.1)\\4x – y + 3z = 1\quad (3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (1) với -4, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (2.1) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x – y + z = 0\quad \quad (1)\\\quad 3y – z = 1\quad \;(2.1)\\\quad 3y – z = 1\quad \;(3.1)\end{array} \right.\)
Hai phương trình (2.1) và (3.1) giống nhau, nên có thể viết hệ phương trình thành:
\(\left\{ \begin{array}{l}x – y + z = 0\quad \quad (1)\\\quad 3y – z = 1\quad \;(2.1)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (2.1), ta có \(z = 3y – 1\), thay vào phương trình (1) ta được \(x = – 2y + 1\)
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng \(( – 2y + 1;y;3y – 1)\) với \(y \in \mathbb{R}\).