Lời giải Hoạt động Khám phá 2 Bài 1. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn (trang 8, 9, 10, 11) – Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo.
Câu hỏi/Đề bài:
Cho các hệ phương trình
(1) \(\left\{ \begin{array}{l}2x – y + z = 1\\\;\,\quad 3y – z = 2\\\quad \,\quad \;\;\,2z = 3\end{array} \right.\)
(2) \(\left\{ \begin{array}{l}2x – y + z = 1\\\;\,\;\;\;\;2y + z = – 1\\\;\;\;\;\;\,2y – z = – 4\end{array} \right.\)
a) Hệ phương trình (1) có gì đặc biệt? Giải hệ phương trình này.
b) Biến đổi hệ phương trình (2) về dạng như hệ phương trình (1). Giải hệ phương trình (2).
Lời giải:
a) Phương trình thứ hai chỉ có 2 ẩn y, z còn phương trình ba chỉ có 1 ẩn z.
Giải hệ phuơng trình:
Từ phương trình thứ ba suy ra \(z = \frac{3}{2}\).
Thay vào phương trình thứ hai ta được: \(3y – \frac{3}{2} = 2 \Leftrightarrow y = \frac{7}{6}\)
Thay vào phương trình thứ nhất ta được: \(2x – \frac{7}{6} + \frac{3}{2} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \((x;y;z) = \left( {\frac{1}{3};\frac{7}{6};\frac{3}{2}} \right)\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x – y + z = 1\quad (1)\\\;\,\;\;\;2y + z = – 1\;\;(2)\\\;\;\;\;\,2y – z = – 4\;\;(3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (3) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (2) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x – y + z = 1\quad (1)\\\;\,\;\;\;2y + z = – 1\;\;(2)\\\;\;\;\;\,\quad \;\,2z = 3\;\;(3.1)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (3.1) ta có \(z = \frac{3}{2}\).
Thay \(z = \frac{3}{2}\) vào phương trình (2) ta được: \(2y + \frac{3}{2} = – 1 \Leftrightarrow y = \frac{{ – 5}}{4}\)
Thay \(z = \frac{3}{2}\) và \(y = \frac{{ – 5}}{4}\) vào phương trình (1) ta được: \(2x – \frac{{ – 5}}{4} + \frac{3}{2} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{{ – 7}}{8}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( {\frac{{ – 7}}{8};\frac{{ – 5}}{4};\frac{3}{2}} \right)\)