Trang chủ Lớp 10 Toán lớp 10 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo Bài 5 trang 39 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân...

Bài 5 trang 39 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo: Chứng minh công thức nhị thức Newton (công thức (1) trang 35) bằn phương pháp quy nạp toán học

Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\) Bước 2. Phân tích, đưa ra lời giải Giải bài 5 trang 39 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo – Bài 2. Nhị thức Newton – Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo. Chứng minh công thức nhị thức Newton (công thức (1) trang 35) bằn phương pháp quy nạp toán học….

Đề bài/câu hỏi:

Chứng minh công thức nhị thức Newton (công thức (1) trang 35) bằn phương pháp quy nạp toán học.

Hướng dẫn:

Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.

Lời giải:

Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}\)

Ta chứng minh công thức nhị thức Newton bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \({(a + b)^1} = C_1^0a + C_1^1b\quad ( = a + b)\)

Như vậy công thức đúng cho trường hợp \(n = 1\)

Bước 2: Giả sử công thức đúng với \(n = k\), nghĩa là có:

\({(a + b)^k} = C_k^0{a^k} + C_k^1{a^{k – 1}}b + … + C_k^{k – 1}a{b^{k – 1}} + C_k^k{b^k}\)

Ta sẽ chứng minh công thức cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh

\({(a + b)^{k + 1}} = C_{k + 1}^0{a^{k + 1}} + C_{k + 1}^1{a^k}b + … + C_{k + 1}^ka{b^k} + C_{k + 1}^{k + 1}{b^{k + 1}}\)

Thật vậy ta có

\(\begin{array}{l}{(a + b)^{k + 1}} = {(a + b)^k}(a + b) = \left( {C_k^0{a^k} + C_k^1{a^{k – 1}}b + … + C_k^{k – 1}a{b^{k – 1}} + C_k^k{b^k}} \right)(a + b)\\ = \left( {C_k^0{a^k} + C_k^1{a^{k – 1}}b + … + C_k^{k – 1}a{b^{k – 1}} + C_k^k{b^k}} \right)a + \left( {C_k^0{a^k} + C_k^1{a^{k – 1}}b + … + C_k^{k – 1}a{b^{k – 1}} + C_k^k{b^k}} \right)b\\ = \left( {C_k^0{a^{k + 1}} + C_k^1{a^k}b + … + C_k^{k – 1}{a^2}{b^{k – 1}} + C_k^ka{b^k}} \right) + \left( {C_k^0{a^k}b + C_k^1{a^{k – 1}}{b^2} + … + C_k^{k – 1}a{b^k} + C_k^k{b^{k + 1}}} \right)\\ = C_k^0{a^{k + 1}} + \left( {C_k^1 + C_k^0} \right){a^k}b + … + \left( {C_k^m + C_k^{m – 1}} \right){a^{k + 1 – m}}{b^m} + … + \left( {C_k^k + C_k^{k – 1}} \right)a{b^k} + C_k^k{b^{k + 1}}\end{array}\)

Mà \(C_k^m + C_k^{m – 1} = C_{k + 1}^m\;(0 \le m \le k),\;C_k^0 = C_{k + 1}^0 = 1,C_k^k = C_{k + 1}^{k + 1} = 1\)

\( \Rightarrow {(a + b)^{k + 1}} = C_{k + 1}^0{a^{k + 1}} + C_{k + 1}^1{a^k}b + … + C_{k + 1}^ka{b^k} + C_{k + 1}^{k + 1}{b^{k + 1}}\)

Vậy công thức đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\)