Cho hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) a) + Tâm sai của hypebol: \(e = \frac{c}{a}\) + Bán kính qua tiêu của M (x; y). Trả lời Giải bài 1 trang 55 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo – Bài 2. Hypebol – Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo. Cho hypebol (H) (frac{{{x^2}}}{{144}} – frac{{{y^2}}}{{25}} = 1)…
Đề bài/câu hỏi:
Cho hypebol (H) \(\frac{{{x^2}}}{{144}} – \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)
a) Tìm tâm sai và bán kính qua tiêu của điểm \(M\left( {13;\frac{{25}}{{12}}} \right)\) trên (H).
b) Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng.
c) Tìm điểm \(N(x;y) \in (H)\) sao cho \(N{F_1} = 2N{F_2}\) với \({F_1},{F_2}\) là hai tiêu điểm của (H).
Hướng dẫn:
Cho hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
a) + Tâm sai của hypebol: \(e = \frac{c}{a}\)
+ Bán kính qua tiêu của M (x; y): \(M{F_1} = \left| {a + ex} \right|,\;M{F_2} = \left| {a – ex} \right|.\)
b) + Ứng với tiêu điểm \({F_1}( – c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}(c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x – \frac{a}{e} = 0\)
Lời giải:
a) Ta có \(a = 12,b = 5 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 13;e = \frac{c}{a} = \frac{{13}}{{12}}\)
Bán kính qua tiêu của \(M\left( {13;\frac{{25}}{{12}}} \right)\) là \(M{F_1} = \left| {a + ex} \right| = \left| {12 + \frac{{13}}{{12}}.13} \right| = \frac{{313}}{{12}},\;M{F_2} = \left| {a – ex} \right| = \left| {12 – \frac{{13}}{{12}}.13} \right| = \frac{{25}}{{12}}.\)
b) Ứng với tiêu điểm \({F_1}( – 13;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{{144}}{{13}} = 0\)
Ứng với tiêu điểm \({F_2}(13;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x – \frac{{144}}{{13}} = 0\)
c) Để \(N{F_1} = 2N{F_2} \Leftrightarrow \left| {a + e{x_N}} \right| = 2\left| {a – e{x_N}} \right|\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + e{x_N} = 2\left( {a – e{x_N}} \right) \Leftrightarrow {x_N} = \frac{a}{{3e}} = \frac{{48}}{{13}} < a\;(L)\\a + e{x_N} = – 2\left( {a – e{x_N}} \right) \Leftrightarrow {x_N} = \frac{{3a}}{e} = \frac{{432}}{{13}}\end{array} \right.\\ \Rightarrow {y_N} = \pm \frac{{35\sqrt {23} }}{{13}}\end{array}\)
Vậy \(N\left( {\frac{{432}}{{13}};\frac{{35\sqrt {23} }}{{13}}} \right)\) hoặc \(N\left( {\frac{{432}}{{13}}; – \frac{{35\sqrt {23} }}{{13}}} \right)\)