Trả lời Vận dụng 5 Bài 1. Elip (trang 43, 44, 45) – Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều. Tham khảo: Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\.
Câu hỏi/Đề bài:
Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Giả sử \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm thuộc elip. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của bán kính qua tiêu \(M{F_1}\) và \(M{F_2}\)
Hướng dẫn:
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)
+ Độ dài bán kính qua tiêu của điểm \(M(x,y)\) trên (E) là: \(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x;M{F_2} = a – \frac{c}{a}x.\)
\(M{F_1}\) có giá trị nhỏ nhất là \(a – c\) khi \(x = – a\) và có giá trị lớn nhất là \(a + c\) khi \(x = a\)
\(M{F_2}\) có giá trị nhỏ nhất là \(a – c\) khi \(x = a\) và có giá trị lớn nhất là \(a + c\) khi \(x = – a\)
Lời giải:
Vì \( – a \le x \le a\) nên \(a + \frac{c}{a}\left( { – a} \right) \le a + \frac{c}{a}x \le a + \frac{c}{a}\left( a \right) \Leftrightarrow a – c \le M{F_1} \le a + c\)
Vậy \(M{F_1}\) có giá trị nhỏ nhất là \(a – c\) khi \(x = – a\) và có giá trị lớn nhất là \(a + c\) khi \(x = a\)
Tương tự với \(M{F_2}\), ta có \( – a \le x \le a \Rightarrow a \ge – x \ge – a\) hay \( – a \le x \le a\) nên \(a – \frac{c}{a}\left( a \right) \le a – \frac{c}{a}x \le a – \frac{c}{a}\left( { – a} \right) \Leftrightarrow a – c \le M{F_2} \le a + c\)
Vậy \(M{F_2}\) có giá trị nhỏ nhất là \(a – c\) khi \(x = a\) và có giá trị lớn nhất là \(a + c\) khi \(x = – a\)