Đáp án Luyện tập – vận dụng 4 Bài 1. Elip (trang 45, 46) – Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều. Gợi ý: Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\.
Câu hỏi/Đề bài:
Viết phương trình chính tắc của elip, biết tiêu điểm \({F_2}(5;0)\) và đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó là \(x = \frac{{36}}{5}.\)
Hướng dẫn:
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)
+ Tiêu điểm \({F_1}( – c;0),{F_2}(c;0)\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( – c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}(5;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x – \frac{a}{e} = 0\)
Lời giải:
Gọi phương trình chính tắc của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)
(E) có tiêu điểm \({F_2}(c;0) = (5;0) \Rightarrow c = 5\)
Ứng với tiêu điểm \({F_2}(3;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x = \frac{a}{e} = \frac{{36}}{5}\)
Mà \(e = \frac{c}{a} = \frac{5}{a} \Rightarrow \frac{a}{e} = \frac{{{a^2}}}{5} = \frac{{36}}{5} \Leftrightarrow {a^2} = 36\) hay \(a = 6\). Suy ra \(b = \sqrt {{a^2} – {c^2}} = \sqrt {{6^2} – {5^2}} = \sqrt {11} \)
Vậy phương trình chính tắc của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{11}} = 1\)