Trả lời Câu 4 trang 116 Vở thực hành Toán 9 – Bài 17. Vị trí tương đối của hai đường tròn. Hướng dẫn: Chứng minh tam giác O’AO vuông tại A. Theo định lí Pythagore tính được OO.
Câu hỏi/Đề bài:
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B trong đó OA là tiếp tuyến của (O’). Biết rằng \(OA = 20cm\) và \(O’A = 15cm\). Độ dài dây AB là:
A. 24cm.
B. 12cm.
C. 25cm.
D. 22cm.
Hướng dẫn:
+ Chứng minh tam giác O’AO vuông tại A. Theo định lí Pythagore tính được OO.
+ Chứng minh OO’ là đường trung trực của AB.
+ Gọi I là giao điểm của OO’ và AB. Khi đó, \(AI = \frac{1}{2}AB\) và \(AI \bot OO’\).
+ Ta có: \(AI.OO’ = O’A.AO\left( { = 2.{S_{\Delta O’AO}}} \right)\), từ đó tính được AI, do đó tính được AB.
Lời giải:
Vì OA là tiếp tuyến của (O’) nên \(O’A \bot OA\). Do đó, tam giác OAO’ vuông tại A. Theo định lí Pythagore ta có: \(OO{‘^2} = O{A^2} + O'{A^2} = {20^2} + {15^2} = 625\) nên \(OO’ = 25cm\).
Ta có \(OA = OB\) (bán kính (O)) nên O thuộc đường trung trực của AB, \(O’A = O’B\) (bán kính (O’)) nên O’ thuộc đường trung trực của AB. Do đó, OO’ là đường trung trực của AB.
Gọi I là giao điểm của OO’ và AB. Khi đó, \(AI = \frac{1}{2}AB\) và \(AI \bot OO’\).
Ta có: \(AI.OO’ = O’A.AO\left( { = 2.{S_{\Delta O’AO}}} \right)\) nên \(AI = \frac{{O’A.OA}}{{OO’}} = \frac{{15.20}}{{25}} = 12\left( {cm} \right)\). Do đó, \(AB = 2AI = 24cm\)
Chọn A