Khi rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần phối hợp các phép tính (cộng, trừ, nhân. Hướng dẫn trả lời Giải bài 8 trang 62 vở thực hành Toán 9 – Bài 9. Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai. Xét biểu thức: (A = left( {frac{{xsqrt x + 8}}{{x – 2sqrt x + 4}} – 2sqrt x } right)….
Đề bài/câu hỏi:
Xét biểu thức: \(A = \left( {\frac{{x\sqrt x + 8}}{{x – 2\sqrt x + 4}} – 2\sqrt x } \right).\frac{{\sqrt x + 2}}{{x – 4}}\).
a) Tìm tất cả các giá trị của biến x để tính được giá trị của biểu thức.
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của biến x tìm được trong câu a, biểu thức đã cho có giá trị không đổi.
Hướng dẫn:
Khi rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần phối hợp các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) và các phép biến đổi đã học (đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn; khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu).
Lời giải:
a) Nếu \(x < 0\) thì không tính được \(\sqrt x \), nếu \(x = 4\) thì phép chia cho \(x – 4\) không thực hiện được và không tính được giá trị của biểu thức đã cho.
Nếu x không âm và khác 4 thì \(x – 2\sqrt x + 4 = {\left( {\sqrt x – 1} \right)^2} + 3 > 0\) nên tất cả các phép toán có mặt trong biểu thức đã cho đều thực hiện được.
Vậy tập hợp các giá trị của biến x để tính được giá trị của biểu thức là \(\left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {x \ge 0,x \ne 4} \right.} \right\}\).
b) Với x không âm và khác 4 thì
\(x\sqrt x + 8 = {\left( {\sqrt x } \right)^3} + {2^3} = \left( {x – 2\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\)
và \(\frac{{x\sqrt x + 8}}{{x – 2\sqrt x + 4}} = \sqrt x + 2\).
Do đó
\(A = \left( {\frac{{x\sqrt x + 8}}{{x – 2\sqrt x + 4}} – 2\sqrt x } \right).\frac{{\sqrt x + 2}}{{x – 4}} \\= \left( {\sqrt x + 2 – 2\sqrt x } \right).\frac{{\sqrt x + 2}}{{x – 4}}\\= \left( {2 – \sqrt x } \right).\frac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = – 1\)
Vậy với mọi giá trị của biến x tìm được trong câu a, biểu thức đã cho nhận giá trị không đổi.