Khi rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần phối hợp các phép tính (cộng, trừ, nhân. Hướng dẫn giải Giải bài 7 trang 61 vở thực hành Toán 9 – Bài 9. Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai. Rút gọn biểu thức: a) (left( {frac{{7 – sqrt 7 }}{{1 – sqrt 7 }} + sqrt 3 } right)left(…
Đề bài/câu hỏi:
Rút gọn biểu thức:
a) \(\left( {\frac{{7 – \sqrt 7 }}{{1 – \sqrt 7 }} + \sqrt 3 } \right)\left( {\frac{{7 + \sqrt 7 }}{{1 + \sqrt 7 }} + \sqrt 3 } \right)\);
b) \(\frac{{28}}{3}\sqrt {\frac{{27}}{{16}}} – 3.\sqrt {\frac{{49}}{3}} – \frac{9}{4}.\sqrt {\frac{{48}}{{243}}} \).
Hướng dẫn:
Khi rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần phối hợp các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) và các phép biến đổi đã học (đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn; khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu).
Lời giải:
a) Ta có: \(7 – \sqrt 7 = \sqrt 7 .\sqrt 7 – \sqrt 7 = \sqrt 7 \left( {\sqrt 7 – 1} \right)\) nên \(\frac{{7 – \sqrt 7 }}{{1 – \sqrt 7 }} = – \sqrt 7 \)
Tương tự, \(\frac{{7 + \sqrt 7 }}{{1 + \sqrt 7 }} = \sqrt 7 \). Do đó
\(\left( {\frac{{7 – \sqrt 7 }}{{1 – \sqrt 7 }} + \sqrt 3 } \right)\left( {\frac{{7 + \sqrt 7 }}{{1 + \sqrt 7 }} + \sqrt 3 } \right) \\= \left( { – \sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right) \\= {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} – {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} = – 4\)
b) Áp dụng quy tắc khai căn một thương và đưa thừa số ra ngoài dấu căn ta có
\(\sqrt {\frac{{27}}{{16}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4};\;\sqrt {\frac{{49}}{3}} = \frac{7}{{\sqrt 3 }};\;\sqrt {\frac{{48}}{{243}}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{9\sqrt 3 }} = \frac{4}{9}\).
Do đó
\(\frac{{28}}{3}\sqrt {\frac{{27}}{{16}}} – 3.\sqrt {\frac{{49}}{3}} – \frac{9}{4}.\sqrt {\frac{{48}}{{243}}} \\ = \frac{{28}}{3}.\frac{{3\sqrt 3 }}{4} – 3.\frac{7}{{\sqrt 3 }} – \frac{9}{4}.\frac{4}{9} = – 1\)