Bài 6 trang 23, 24 vở thực hành Toán 9 tập 2: Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai ax^2 + bx + c = 0 có hai nghiệm là x_1 và x_2 thì đa thức ax^2 + bx + c\

Đề bài/câu hỏi:

Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm là \({x_1}\) và \({x_2}\) thì đa thức \(a{x^2} + bx + c\) được phân tích được thành nhân tử như sau: \(a{x^2} + bx + c = a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)\).

Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) \({x^2} + 11x + 18\);

b) \(3{x^2} + 5x – 2\).

Hướng dẫn:

– Chứng minh:

+ Viết định lí Viète để tính tổng và tích các nghiệm: \({x_1} + {x_2} = \frac{{ – b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\)

+ Biến đổi \(a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right) = a{x^2} – ax\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + a{x_1}{x_2}\)

+ Thay \({x_1} + {x_2} = \frac{{ – b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\) vào đa thức \(a{x^2} – ax\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + a{x_1}{x_2}\) ta được điều phải chứng minh.

a, b) + Tìm nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\)

+ Phân tích đa thức dưới dạng: \(a{x^2} + bx + c = a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)\)

Lời giải:

Với \({x_1}\) và \({x_2}\) là hai nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\), theo định lí Viète ta có: \({x_1} + {x_2} = \frac{{ – b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\). Do đó:

\(a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right) \\= a{x^2} – a\left( {{x_1} + {x_2}} \right)x + a{x_1}{x_2} \\= a{x^2} – a.\frac{{ – b}}{a}.x + a.\frac{c}{a} \\= a{x^2} + bx + c.\)

Đó là điều phải chứng minh.

Áp dụng:

a) Do phương trình \({x^2} + 11x + 18 = 0\) có hai nghiệm \({x_1} = – 2;{x_2} = – 9\)

nên \({x^2} + 11x + 18 = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 9} \right)\)

b) Do phương trình \(3{x^2} + 5x – 2 = 0\) có hai nghiệm \({x_1} = \frac{1}{3};{x_2} = – 2\) nên

\(3{x^2} + 5x – 2 \\= 3\left( {x – \frac{1}{3}} \right)\left( {x + 2} \right) \\= \left( {x + 2} \right)\left( {3x – 1} \right).\)