Biến đổi \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2}\), từ đó thay \({x_1} + {x_2} = \frac{{ – b}}{a};{x_1}. Hướng dẫn cách giải/trả lời Giải bài 3 trang 30 vở thực hành Toán 9 tập 2 – . Gọi ({x_1},{x_2}) là hai nghiệm của phương trình ({x^2} – 2x – 5 = 0). Không giải phương trình,…
Đề bài/câu hỏi:
Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} – 2x – 5 = 0\). Không giải phương trình, hãy tính:
a) \(x_1^3 + x_2^3\);
b) \(\frac{1}{{x_1^2}} + \frac{1}{{x_2^2}}\).
Hướng dẫn:
a) Biến đổi \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2}\), từ đó thay \({x_1} + {x_2} = \frac{{ – b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\) để tính giá trị biểu thức.
b) Biến đổi \(\frac{1}{{x_1^2}} + \frac{1}{{x_2^2}} = \frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{x_1^2x_2^2}} = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – 2{x_1}{x_2}}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}}\), từ đó thay \({x_1} + {x_2} = \frac{{ – b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\) để tính giá trị biểu thức.
Lời giải:
Áp dụng định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = 2;{x_1}.{x_2} = – 5\).
a) Ta có:
\(x_1^3 + x_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 – {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) \\= \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 – 3{x_1}{x_2}} \right)\\ = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – 3{x_1}{x_2}} \right] = 38\)
b) Ta có:
\(\frac{1}{{x_1^2}} + \frac{1}{{x_2^2}} = \frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – 2{x_1}{x_2}}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} \\= \frac{{{2^2} – 2.\left( { – 5} \right)}}{{{{\left( { – 5} \right)}^2}}} = \frac{{14}}{{25}}\).