Xét phương trình bậc hai một ẩn \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\). Phân tích, đưa ra lời giải Giải bài tập 6.48 trang 31 SGK Toán 9 tập 2 – Kết nối tri thức – Bài tập cuối chương 6. Cho phương trình ({x^2} – 11x + 30 = 0). Gọi ({x_1},{x_2}) là hai nghiệm của phương trình….
Đề bài/câu hỏi:
Cho phương trình \({x^2} – 11x + 30 = 0\). Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính:
a) \(x_1^2 + x_2^2\);
b) \(x_1^3 + x_2^3\).
Hướng dẫn:
Xét phương trình bậc hai một ẩn \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\).
+ Tính biệt thức \(\Delta = {b^2} – 4ac\).
+ Nếu \(\Delta > 0\), áp dụng định lí Viète để tính tổng và tích các nghiệm \({x_1} + {x_2} = \frac{{ – b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\).
a) Biến đổi \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2}\), từ đó thay \({x_1} + {x_2} = \frac{{ – b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\) để tính giá trị biểu thức.
b) Biến đổi \(x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} – 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\), từ đó thay \({x_1} + {x_2} = \frac{{ – b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\) để tính giá trị biểu thức.
Lời giải:
Vì \(\Delta = {\left( { – 11} \right)^2} – 4.30 = 1 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lí Viète ta có: \({x_1} + {x_2} = 11;{x_1}.{x_2} = 30\).
a) Ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2} = {11^2} – 2.30 = 61\)
b) \(x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} – 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {11^3} – 3.30.11 = 341\)