Bài tập 6.26 trang 24 Toán 9 tập 2 – Kết nối tri thức: Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai ax^2 + bx + c = 0 có hai nghiệm là x_1 và x_2 thì đa thức ax^2 + bx + c

Đề bài/câu hỏi:

Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm là \({x_1}\) và \({x_2}\) thì đa thức \(a{x^2} + bx + c\) được phân tích được thành nhân tử sau: \(a{x^2} + bx + c = a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)\).

Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) \({x^2} + 11x + 18\);

b) \(3{x^2} + 5x – 2\).

Hướng dẫn:

Chứng minh:

+ Biến đổi \(a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right) = a{x^2} – ax\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + a{x_1}{x_2}\)

+ Viết định lí Viète để tính tổng và tích các nghiệm: \({x_1} + {x_2} = \frac{{ – b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\)

+ Thay \({x_1} + {x_2} = \frac{{ – b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\) vào đa thức \(a{x^2} – ax\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + a{x_1}{x_2}\) ta được điều phải chứng minh.

a, b) + Tìm nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\)

+ Phân tích đa thức dưới dạng: \(a{x^2} + bx + c = a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)\)

Lời giải:

Ta có: \(a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right) = a{x^2} – ax\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + a{x_1}{x_2}\)

Vì phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\) nên theo định lí Viète ta có:

\({x_1} + {x_2} = \frac{{ – b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\).

Thay vào biểu thức \(a{x^2} – ax\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + a{x_1}{x_2}\) ta có:

\(a{x^2} – ax.\frac{{ – b}}{a} + a.\frac{c}{a} = a{x^2} + bx + c\)

a) Giải phương trình \({x^2} + 11x + 18 = 0\):

Ta có: \(\Delta = {11^2} – 4.1.18 = 49 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{ – 11 + \sqrt {49} }}{2} = – 2;{x_2} = \frac{{ – 11 – \sqrt {49} }}{2} = – 9\)

Do đó, \({x^2} + 11x + 18 = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 9} \right)\).

b) Giải phương trình \(3{x^2} + 5x – 2 = 0\):

Ta có: \(\Delta = {5^2} – 4.3.\left( { – 2} \right) = 49 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{ – 5 + \sqrt {49} }}{6} = \frac{1}{3};{x_2} = \frac{{ – 5 – \sqrt {49} }}{6} = – 2\)

Do đó, \(3{x^2} + 5x – 2 = 3\left( {x + 2} \right)\left( {x – \frac{1}{3}} \right)\).