Gọi H là trung điểm của AB, chứng minh \(OH \bot AB\. Hướng dẫn giải Giải bài tập 5.6 trang 90 SGK Toán 9 tập 1 – Kết nối tri thức – Bài 14. Cung và dây của một đường tròn. Cho đường tròn (O; 5 cm) và AB là một dây bất kì của đường tròn đó….
Đề bài/câu hỏi:
Cho đường tròn (O; 5 cm) và AB là một dây bất kì của đường tròn đó. Biết AB = 6 cm.
a) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB.
b) Tính\(\tan \alpha \)nếu góc ở tâm chắn cung AB bằng \(2\alpha .\)
Hướng dẫn:
a) Gọi H là trung điểm của AB, chứng minh \(OH \bot AB\) hay khoảng cách từ O đến đường thẳng AB bằng độ dài đoạn OH. Sau đó áp dụng định lý Pythagore để tính OH.
b) \(\widehat {AOB} = 2\alpha \Rightarrow \alpha = \widehat {HOA}\). Xét tam giác OAH để tính \(\tan \alpha .\)
Lời giải:
a) Kẻ \( OH \bot AB\).
Ta có \(\Delta AOB\) cân tại O (OA = OB), OH là đường cao nên OH cũng là đường trung tuyên của \(\Delta OAB\)
Suy ra H là trung điểm của AB nên \(AH = HB = 3cm\)
Xét \(\Delta AHO\) vuông tại H, áp dụng định lý Pythagore, ta có:
\(OH = \sqrt{OA^2-AH^2} = \sqrt{5^2-3^2}= 4 (cm)\)
Vậy khoảng cách từ O đến BC là 4cm.
b) Ta có: \(\widehat{AOB} = 2\alpha \).
OH là đường cao của tam giác AOB cân tại O nên OH cũng là đường phân giác của \(\widehat{AOB}\)
Suy ra \(\widehat {AOH} = \widehat{BOH} = \alpha\)
Tam giác AOH vuông tại H nên ta có:
\(tan\alpha = \frac{AH}{OH} = \frac{3}{4}\)