Bài 7 trang 85 SBT toán 9 – Cánh diều tập 2: Trên đường tròn (O) bán kính R, lấy các điểm A, B, C, D sao cho sđ\overset\frownAB=60^o; sđ\overset\frownBC=90^o; sđ\overset\frownCD=120^o (Hình 7)

Đề bài/câu hỏi:

Trên đường tròn (O) bán kính R, lấy các điểm A, B, C, D sao cho \(sđ\overset\frown{AB}={{60}^{o}}\); \(sđ\overset\frown{BC}={{90}^{o}}\); \(sđ\overset\frown{CD}={{120}^{o}}\) (Hình 7).

a) Xác định tâm và tính theo R bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác OAB, OBC, OAD, OCD.

b) Gọi I là giao điểm của AC và BD. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác IAB, IBC, IAD, IDC.

Hướng dẫn:

Tam giác đều cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp là \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng nửa cạnh huyền.

Lời giải:

a) Gọi G là trọng tâm của tam giác OAB. Tam giác OAB là tam giác đều cạnh AB = R nên có tâm đường tròn ngoại tiếp là G và bán kính đường tròn ngoại tiếp là \(\frac{{R\sqrt 3 }}{3}\).

Tam giác OBC vuông tại O, có cạnh huyền BC = \(R\sqrt 2 \) nên tâm, bán kính của đường tròn ngoại tiếp của nó lần lượt là trung điểm E của BC và \(\frac{{R\sqrt 2 }}{2}\).

Tương tự tâm, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OAD lần lượt là trung điểm F của AD và \(\frac{{R\sqrt 2 }}{2}\). Gọi H là trung điểm của DC và giao điểm của tia OH và cung nhỏ CD là K. Dễ thấy K là điểm chính giữa của cung nhỏ DC và KD = KO = KC = R. Vậy tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ODC lần lượt là K và R.

b) Do \(\widehat {CAB} = \widehat {DBA} = {45^o}\) nên \(\widehat {AIB} = {90^o}\) hay AC vuông góc với BD. Mặt khác AB = R, BC = AD = \(R\sqrt 2 \) và DC = \(R\sqrt 3 \)do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác IAB, IBC, IAD, IDC lần lượt là: \(\frac{R}{2};\frac{{R\sqrt 2 }}{2};\frac{{R\sqrt 2 }}{2};\frac{{R\sqrt 3 }}{2}\).