Từ phương trình \(x – y = \frac{1}{4} – \sqrt 7\) thế x bởi y vào phương trình \(xy = \frac{{\sqrt 7 }}{4}\. Hướng dẫn giải Giải bài 44 trang 74 sách bài tập toán 9 – Cánh diều tập 2 – Bài tập cuối Chương 7. Tìm các số \(x,y\) thỏa mãn: a) \(x – y = \frac{1}{4} – \sqrt 7 ;xy = \frac{{\sqrt 7 }}{4}\…
Đề bài/câu hỏi:
Tìm các số \(x,y\) thỏa mãn:
a) \(x – y = \frac{1}{4} – \sqrt 7 ;xy = \frac{{\sqrt 7 }}{4}\)
b) \(x + y = \frac{1}{6};xy = \frac{{ – 1}}{6}\)
Hướng dẫn:
a) Từ phương trình \(x – y = \frac{1}{4} – \sqrt 7\) thế x bởi y vào phương trình \(xy = \frac{{\sqrt 7 }}{4}\) để giải phương trình.
b) Dùng định lý Viète đảo: Nếu hai số có tổng S và tích P thì 2 số đó là nghiệm của phương trình: \({X^2} – SX + P = 0\)(điều kiện: \({S^2} – 4P \ge 0\)).
Lời giải:
a) Ta có \(x – y = \frac{1}{4} – \sqrt 7 \) nên \(x = \frac{1}{4} – \sqrt 7 + y\).
Do đó \(xy = \left( {\frac{1}{4} – \sqrt 7 + y} \right)y = \frac{{\sqrt 7 }}{4}\) hay \({y^2} + \left( {\frac{1}{4} – \sqrt 7 } \right)y – \frac{{\sqrt 7 }}{4} = 0\)
Ta có \(\Delta = {\left( {\frac{1}{4} – \sqrt 7 } \right)^2} – 4.1.\frac{{ – \sqrt 7 }}{4} = \frac{{113 + 8\sqrt 7 }}{{16}} > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
\(\begin{array}{l}{y_1} = \frac{{ – \left( {\frac{1}{4} – \sqrt 7 } \right) – \sqrt {\frac{{113 + 8\sqrt 7 }}{{16}}} }}{2} = \frac{{\sqrt 7 – \frac{1}{4} – \frac{1}{4}\sqrt {{{\left( {4\sqrt 7 + 1} \right)}^2}} }}{2} = – \frac{1}{4};\\{y_2} = \frac{{ – \left( {\frac{1}{4} – \sqrt 7 } \right) + \sqrt {\frac{{113 + 8\sqrt 7 }}{{16}}} }}{2} = \frac{{\sqrt 7 – \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\sqrt {{{\left( {4\sqrt 7 + 1} \right)}^2}} }}{2} = \sqrt 7 \end{array}\)
Với \(y = – \frac{1}{4}\) ta có:
\(x = \frac{1}{4} – \sqrt 7 + y = \frac{1}{4} – \sqrt 7 – \frac{1}{4} = – \sqrt 7 \)
Với \(y = \sqrt 7 \) ta có:
\(x = \frac{1}{4} – \sqrt 7 + y = \frac{1}{4} – \sqrt 7 + \sqrt 7 = \frac{1}{4}\)
Vậy \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( { – \sqrt 7 ;\frac{{ – 1}}{4}} \right);\left( {\frac{1}{4};\sqrt 7 } \right)} \right\}\).
b) Đặt \(x + y = S\) và \(xy = P\).
Ta có \({S^2} – 4P = {\left( {\frac{1}{6}} \right)^2} – 4.\frac{{ – 1}}{6} = \frac{{25}}{{36}} > 0\) nên x, y là nghiệm của phương trình:
\({X^2} – \frac{1}{6}X – \frac{1}{6} = 0\) hay \(6{X^2} – X – 1 = 0\),
do đó \(\left( {3X + 1} \right) + \left( {2X – 1} \right) = 0\)
\(3X + 1 = 0\) hoặc \(2X – 1 = 0\)
\(X = – \frac{1}{3}\) hoặc \(X = \frac{1}{2}\)
Vì vai trò của x và y là như nhau nên \(x = \frac{{ – 1}}{3};y = \frac{1}{2}\) hoặc \(y = \frac{{ – 1}}{3};x = \frac{1}{2}\)
Vậy \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( { – \frac{1}{3};\frac{1}{2}} \right);\left( {\frac{1}{2};\frac{{ – 1}}{3}} \right)} \right\}\)