Dựa vào khoảng cách từ tâm đến các điểm trên đường tròn bằng nhau để chứng minh. Gợi ý giải Giải bài 31 trang 93 sách bài tập toán 9 – Cánh diều tập 2 – Bài tập cuối Chương 8. Cho lục giác đều ABCDEF cạnh bằng a. a) Chứng minh sáu điểm A, B, C, D, E,…
Đề bài/câu hỏi:
Cho lục giác đều ABCDEF cạnh bằng a.
a) Chứng minh sáu điểm A, B, C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn. Tính theo a bán kính của đường tròn đó.
b) Chứng minh các tam giác ACE, BFD là các tam giác đều. Tính theo a bán kính đường tròn nội tiếp tương ứng của tam giác đó.
Hướng dẫn:
Dựa vào khoảng cách từ tâm đến các điểm trên đường tròn bằng nhau để chứng minh.
Dựa vào bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \(r = \frac{a}{2}\) (a là cạnh tam giác đều).
Lời giải:
a) Vì ABCDEF là lục giác đều nên ba đường chéo chính AD, BE, CF bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường, do đó OA = OB = OC = OD = OE = OF, nên sáu điểm A, B, C, D, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính AD.
Vì ABCDEF là lục giác đều nên độ dài đường chéo chính AD gấp 2 lần độ dài cạnh, mà AD là đường kính của đường tròn đi qua sáu điểm A, B, C, D, E, F nên bán kính của đường tròn đi qua sáu điểm A, B, C, D, E, F bằng độ dài cạnh của lục giác đều và bằng a.
b) Vì ABCDEF là lục giác đều nên các góc ở các đỉnh của lục giác đều bằng nhau, suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {BCD} = \widehat {CDE} = \widehat {DEF} = \widehat {EAF} = \widehat {AFB}\).
Vì ABCDEF là lục giác đều nên các cạnh bằng nhau, suy ra AB = BC = CD = DE = EF = FA.
Xét ∆ABC và ∆CDE có:
AB = CD
\(\widehat {ABC} = \widehat {CDE}\)
BC = DE
Do đó ∆ABC = ∆CDE (c.g.c)
Suy ra AC = CE (hai cạnh tương ứng).
Chứng minh tương tự, ta có kết quả AC = CE = AE = BD = DF = BF.
Do AC = CE = AE nên ∆ACE là tam giác đều.
Do BF = BD = DF nên ∆BFD là tam giác đều.
Gọi H là giao điểm của AC và OB.
Ta có OA = OB = AB = a nên ∆OAB là tam giác đều, do đó \(\widehat {ABO} = {60^o}\) hay \(\widehat {ABH} = {60^o}\).
Xét tứ giác OABC có OA = OC = AB = BC nên OABC là hình thoi, do đó hai đường chéo AC và OB vuông góc với nhau tại trung điểm H của mỗi đường.
Từ đó ta có AC = 2AH.
Xét ∆ABH vuông tại H, ta có:
AH = AB. sin \(\widehat {ABH}\) = a. sin 60o = \(a\sqrt 3 \).
Vì ∆ACE là tam giác đều nên bán kính đường tròn nội tiếp của ∆ACE là \(\frac{{AC\sqrt 3 }}{6} = \frac{{a\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{6} = \frac{a}{2}\).
Vì AC = CE = AE = BF = FD = BD nên ta có ∆ACE = ∆BFD (c.c.c).
Do đó bán kính đường tròn nội tiếp tương ứng của ∆ACE và ∆BFD bằng nhau, và bằng \(\frac{a}{2}\).